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Géométrie 12
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Big Ideas
Grandes idées
L’emploi de figures géométriques est essentiel pour l’investigation, la communication et la découverte des propriétés et des relations géométriques.
figures géométriques
- Questions pour appuyer la réflexion de l’élève :
- Comment décrire un objet géométrique à quelqu’un qui ne pourrait pas le voir?
- De quelles propriétés peut-on conclure à partir d’une figure géométrique?
- De quels comportements peut-on conclure à partir d’une figure géométrique?
La recherche de l’invariance dans les transformations est le fondement de l’investigation en géométrie.
invariance dans les transformations
- L’invariance dans les transformations est plus facile à expérimenter avec les technologies actuelles et les figures géométriques dynamiques. Par exemple, la somme des angles d’un triangle planaire est invariable, quelle que soit la forme du triangle.
- Questions pour appuyer la réflexion de l’élève :
- Comment construit-on des figures géométriques qui conservent leurs propriétés dans une transformation?
- Quelles propriétés changent, et lesquelles ne changent pas, lorsqu’il s’agit detransformer un carré, un parallélogramme, un triangle, etc.?
- Comment pourrait-on reformuler le théorème de Pythagore en termes de variance et d’invariance?
La géométrie s’intéresse à la formulation, à la mise à l’épreuve et au perfectionnement de définitions.
définitions
- les définitions sont rarement le point de départ en géométrie
- Questions pour appuyer la réflexion de l’élève :
- Comment les transformations aident-elles à perfectionner les définitions des figures géométriques?
- Comment définir un carré (ou un cercle) de plusieurs façons différentes? Parmi plusieurs définitions, comment déterminer laquelle est la plus pratique?
- Comment construire une figure géométrique à partir de sa définition?
- Comment modifier la définition d’une figure géométrique pour définir une nouvelle figure géométrique?
La démonstration commence par la formulation de conjectures, la recherche de contre-exemples et l’amélioration de la conjecture, et peut se terminer par une preuve écrite.
démonstration
- Questions pour appuyer la réflexion de l’élève :
- Peut-on formuler une conjecture sur les diagonales d’un polygone? Peut-on trouver un contre-exemple à sa conjecture?
- Comment une conjecture sur une figure géométrique unique peut-elle amener à faire une conjecture plus générale sur une famille de figures géométriques?
- Comment avoir la certitude qu’une preuve est concluante?
- Peut-on trouver un contre-exemple à une conjecture?
- Comment différentes preuves sollicitent-elles différentes compréhensions d’une relation?
Les histoires et les applications de la géométrie varient d’une culture et d’une époque à l’autre.
géométrie
- La géométrie est plus qu’une simple liste d’axiomes et de déductions. La géométrie non classique et la géométrie moderne s’intéressent aux figures géométriques et à l’espace, et ne sont pas uniquement axiomatiques. Leur but n’est pas toujours la production de théorèmes. Elles s’intéressent plutôt à la modélisation de phénomènes mathématiques et non mathématiques, au moyen d’objets et de relations géométriques. De nos jours, la géométrie est utilisée dans une multitude de disciplines, notamment l’animation, l’architecture, la biologie, la charpenterie, la chimie, l’imagerie médicale et les arts.
- Questions pour appuyer la réflexion de l’élève :
- Peut-on trouver des relations géométriques dans les arts ou la culture des peuples autochtones?
- Peut-on faire des liens entre la géométrie et les récits, le langage ou des expériences du passé?
- Que remarque-t-on dans les figures géométriques que l’on observe couramment dans les arts des peuples autochtones, et comment en construire?
- Comment la notion de « preuve » change-t-elle d’une époque et d’une culture à l’autre?
- Comment les concepts géométriques sont-ils appliqués dans les professions d’aujourd’hui?
Normes d’apprentissage
Afficher avec les approfondissements
Compétences disciplinaires
L’élève sera capable de :
Raisonner et modéliser
Élaborer des stratégies de réflexion pour résoudre des casse-têtes et jouer à des jeux
stratégies de réflexion
- raisonner pour choisir des stratégies gagnantes
- généraliser et extrapoler
Appliquer son raisonnement géométrique dans un environnement dynamique
raisonnement géométrique
- habileté à réfléchir sur des figures géométriques (réelles ou imaginaires) et à les transformer mentalement pour relever des relations
Explorer, analyser et appliquer des idées mathématiques au moyen du raisonnement, de la technologie et d’autres outils
analyser
- examiner la structure des concepts géométriques et les liens entre eux (p. ex. droites parallèles et perpendiculaires, géométrie du cercle, construction de tangentes, transformations)
raisonnement
- raisonnement inductif et déductif
- prédictions, généralisations et conclusions tirées d’expériences (p. ex. casse-têtes, jeux et programmation)
technologie
- technologie graphique, géométrie dynamique, calculatrices, matériel de manipulation virtuelle, applications conceptuelles
- usages très variés, notamment :
- exploration et démonstration de relations géométriques
- organisation et présentation de données
- formulation et mise à l’épreuve de conjectures inductives
- modélisation mathématique
autres outils
- papier et ciseaux, règle droite et compas, règle et autres objets
Réaliser des estimations raisonnables et faire preuve d’une réflexion aisée, souple et stratégique en ce qui a trait aux concepts liés aux nombres
Réaliser des estimations raisonnables
- être capable de défendre la vraisemblance d’une valeur estimée ou de la solution d’un problème ou d’une équation (p. ex. congruences, angles, longueurs)
réflexion aisée, souple et stratégique
- pouvoir construire une famille de figures géométriques et appliquer ses propriétés d’une figure à l’autre à l’intérieur de cette famille
Modéliser au moyen des mathématiques dans des situations contextualisées
Modéliser
- à l’aide de concepts et d’outils mathématiques, résoudre des problèmes et prendre des décisions (p. ex. dans des scénarios de la vie quotidienne ou abstraits)
- choisir les concepts et les outils mathématiques nécessaires pour déchiffrer un scénario complexe et essentiellement non mathématique
situations contextualisées
- par exemple, des scénarios de la vie quotidienne et des défis ouverts qui établissent des liens entre les mathématiques et la vie quotidienne
Faire preuve de pensée créatrice et manifester de la curiosité et de l’intérêt dans l’exploration de problèmes
pensée créatrice
- être ouvert à l’essai de stratégies différentes
- on fait référence ici à une réflexion mathématique créatrice et innovatrice plutôt qu’à une représentation créative des mathématiques, p. ex. par les arts ou la musique
curiosité et de l’intérêt
- poser des questions pour approfondir sa compréhension ou pour ouvrir de nouvelles voies d’investigation
Comprendre et résoudre
Développer, démontrer et appliquer sa compréhension des concepts mathématiques par des jeux, des histoires, l’investigation et la résolution de problèmes
investigation
- investigation structurée, orientée et libre
- observer et s’interroger
- relever les éléments nécessaires pour comprendre un problème et le résoudre
Explorer et représenter des concepts et des relations géométriques par la visualisation
visualisation
- créer et utiliser des images mentales pour appuyer sa compréhension
- la visualisation peut être appuyée par du matériel dynamique (p. ex. des relations et des simulations graphiques), des objets, des dessins et des diagrammes
Appliquer des approches flexibles et stratégiques pour résoudre des problèmes
approches flexibles et stratégiques
- choisir les outils mathématiques appropriés pour résoudre un problème
- choisir une stratégie efficace pour résoudre un problème (p. ex. essai-erreur, modélisation, résolution d’un problème plus simple, utilisation d’un graphique ou d’un diagramme, jeu de rôle)
résoudre des problèmes
- interpréter une situation pour cerner un problème
- appliquer les mathématiques à la résolution de problème
- analyser et évaluer la solution par rapport au contexte initial
- répéter ce cycle jusqu’à ce qu’une solution vraisemblable ait été trouvée
Résoudre des problèmes avec persévérance et bonne volonté
persévérance et bonne volonté
- ne pas abandonner devant les difficultés
- résoudre les problèmes avec dynamisme et détermination
Réaliser des expériences de résolution de problèmes qui font référence aux lieux, aux histoires, aux pratiques culturelles et aux perspectives des peuples autochtones de la région, de la communauté locale et d’autres cultures
qui font référence
- aux activités quotidiennes, aux pratiques locales et traditionnelles, aux médias populaires, aux événements d’actualité et à l’intégration interdisciplinaire
- en posant et en résolvant des problèmes, ou en posant des questions sur les lieux, les histoires et les pratiques culturelles
Communiquer et représenter
Expliquer, justifier et évaluer des concepts et des décisions géométriques de plusieurs façons
Expliquer, justifier
- utiliser des arguments mathématiques pour convaincre
- prévoir des conséquences
décisions
- demander aux élèves de choisir parmi deux scénarios, puis de justifier leur choix
plusieurs façons
- par exemple : orale, écrite, visuelle, gestuelle, au moyen de technologies
- communiquer efficacement d’une manière adaptée à la nature du message et de l’auditoire
Représenter des concepts mathématiques sous formes concrète, graphique et symbolique
Représenter
- de manière concrète, graphique ou symbolique, notamment à l’aide de modèles, de tables, de graphiques, de mots, de nombres, de symboles
Utiliser le vocabulaire et le langage de la géométrie pour participer à des discussions en classe
discussions
- dialogues entre pairs, discussions en petits groupes, rencontres enseignants-élèves
Prendre des risques en proposant des idées dans le discours en classe
discours
- utile pour approfondir la compréhension des concepts
- peut aider les élèves à clarifier leur réflexion, même s’ils doutent quelque peu de leurs idées ou si leurs prémisses sont erronées
Faire des liens et réfléchir
Réfléchir sur l’approche géométrique
Réfléchir
- présenter le résultat de son raisonnement géométrique et partager celui d’autres personnes, y compris évaluer les stratégies et les solutions, trouver des contre-exemples, développer les idées, formuler de nouveaux problèmes et de nouvelles questions, prouver les résultats
Faire des liens entre différents concepts mathématiques, et entre les concepts mathématiques et d’autres domaines et intérêts personnels
Faire des liens entre différents concepts mathématiques
- s’ouvrir au fait que les mathématiques peuvent aider à se connaître et à comprendre le monde autour de soi (p. ex. activités quotidiennes, pratiques locales et traditionnelles, médias populaires, événements d’actualité, justice sociale et intégration interdisciplinaire)
Voir les erreurs comme des occasions d’apprentissage
erreurs
- vont des erreurs de calcul jusqu’aux fausses prémisses
occasions d’apprentissage
- en :
- analysant ses erreurs pour cerner les éléments mal compris
- apportant des correctifs à la tentative suivante
- relevant non seulement les erreurs mais aussi les parties d’une solution qui sont correctes
Incorporer les visions du monde, les perspectives, les connaissances et les pratiques des peuples autochtones pour établir des liens avec des concepts mathématiques
Incorporer
- en :
- collaborant avec les Aînés et les détenteurs du savoir parmi les peuples autochtones
- explorant les principes d’apprentissage des peuples autochtones (http://www.fnesc.ca/wp/wp-content/uploads/2015/09/PUB-LFP-POSTER-Princip... : l’apprentissage est holistique, introspectif, réflexif, expérientiel et relationnel [axé sur la connexité, les relations réciproques et l’appartenance]; l’apprentissage demande temps et patience)
- faisant des liens explicites avec l’apprentissage des mathématiques
- explorant les pratiques culturelles et les connaissances des peuples autochtones de la région, et en faisant des liens avec les mathématiques
connaissances
- connaissances locales et pratiques culturelles qu’il est convenable de partager et qui ne relèvent pas d’une appropriation
pratiques
- pratiques culturelles selon Bishop : compter, mesurer, localiser, concevoir, jouer, expliquer (http://www.csus.edu/indiv/o/oreyd/ACP.htm_files/abishop.htm)
- ressources sur l’éducation autochtone (www.aboriginaleducation.ca)
- Teaching Mathematics in a First Nations Context, FNESC (http://www.fnesc.ca/resources/math-first-peoples/)
Contenu
L’élève connaîtra :
Constructions géométriques
Constructions
- angles, triangles, centres d’un triangle, quadrilatères
Droites parallèles et perpendiculaires :
parallèles et perpendiculaires
- bissectrice d’un angle
- utilisation du cercledans les constructionsutilisation du cercle
- construire des segments égaux, trouver le point milieu
- bissectrice perpendiculaire
Géométrie du cercle
Géométrie du cercle
- utiliser les propriétés des segments, des angles et des tangentes pour faire une démonstration
Construction de tangentes
Construction de tangentes
- droites tangentes à un cercle, cercles tangents, cercles tangents à trois figures (p. ex. à trois points [PPP], à trois droites [DDD])
Transformations de figures géométriques :
- isométriesisométries
- transformations qui conservent la congruence (translation, rotation et réflexion)
- composition des isométries
- dallage
- transformations non isométriquestransformations non isométriques
- dilatation et transvection
- topologie
Géométries non euclidiennes
Géométries non euclidiennes
- perspective; géométrie sphérique, rectilinéaire, hyperbolique
- dallage
Note: (fr) Some of the learning standards in the PHE curriculum address topics that some students and their parents or guardians may feel more comfortable addressing at home. Refer to ministry policy regarding opting for alternative delivery.