Curriculum Géométrie 12e

Grade 12
Big Ideas: 
Diagrams are fundamental to investigating, communicating, and discovering properties and relations in geometry.
Finding invariance amidst variation drives geometric investigation.
Geometry involves creating, testing, and refining definitions.
The proving process begins with conjecturing, looking for counter-examples, and refining the conjecture, and the process may end with a written proof.
Geometry stories and applications vary across cultures and time.
Big Ideas Elaborations: 
  • Diagrams:
    • Sample questions to support inquiry with students:
      • How would we describe a specific geometric object to someone who cannot see it?
      • What properties can we infer from a diagram?
      • What behaviours can we infer from a dynamic diagram?
  • invariance amidst variation:
    • Invariance amidst variation can be more easily experienced using current technology and dynamic diagrams. For example, the sum of the angles in planar triangles is invariant no matter what forms a triangle takes.
    • Sample questions to support inquiry with students:
      • How do we construct geometric shapes that maintain properties under variation?
      • What properties change and stay the same when we vary a square, parallelogram, triangle, and so on?
      • How can the Pythagorean theorem be restated in terms of variance and invariance?
  • definitions:
    • are seldom the starting point in geometry
    • Sample questions to support inquiry with students:
      • How does variation help to refine our definitions of shapes?
      • How would we define a square (or a circle) in different ways? When would one definition be better to work with than another?
      • How can the definition of a shape be used in constructing the shape?
      • How can we modify a definition of a shape to define a new shape?
  • proving process:
    • Sample questions to support inquiry with students:
      • Can we make a conjecture about the diagonals of a polygon? Can we find a counter-example to our conjecture?
      • How can one conjecture about a specific shape lead to making another more general conjecture about a family of shapes?
      • How can we be sure that a proof is complete?
      • Can we find a counter-example to a conjecture?
      • How can different proofs bring out different understandings of a relationship?
  • Geometry:
    • Geometry is more than a list of axioms and deductions. Non-Western and modern geometry is concerned with shape and space and is not always axiomatic. It is not always about producing a theorem; rather, it is about modelling mathematical and non-mathematical phenomena using geometric objects and relations. Today geometry is used in a multitude of disciplines, including animation, architecture, biology, carpentry, chemistry, medical imaging, and art.
    • Sample questions to support inquiry with students:
      • Can we find geometric relationships in local First Peoples art or culture?
      • Can we make geometric connections to story, language, or past experiences?
      • What do we notice about and how would we construct common shapes found in local First Peoples art?
      • How has the notion of “proof” changed over time and in different cultures?
      • How are geometric ideas implemented in modern professions?
Curricular Competencies: 
Reasoning and modelling
  • Develop thinking strategies to solve puzzles and play games
  • Engage in spatial reasoning in a dynamic environment
  • Explore, analyze, and apply mathematical ideas using reason, technology, and other tools
  • Estimate reasonably and demonstrate fluent, flexible, and strategic thinking about number
  • Model with mathematics in situational contexts
  • Think creatively and with curiosity and wonder when exploring problems
Understanding and solving
  • Develop, demonstrate, and apply conceptual understanding of mathematical ideas through play, story, inquiry, and problem solving
  • Visualize to explore and illustrate geometric concepts and relationships
  • Apply flexible and strategic approaches to solve problems
  • Solve problems with persistence and a positive disposition
  • Engage in problem-solving experiences connected with place, story, cultural practices, and perspectives relevant to local First Peoples communities, the local community, and other cultures
Communicating and representing
  • Explain, justify, and evaluate geometric ideas and decisions in many ways
  • Represent mathematical ideas in concrete, pictorial, and symbolic forms
  • Use geometric vocabulary and language to contribute to discussions in the classroom
  • Take risks when offering ideas in classroom discourse
Connecting and reflecting
  • Reflect on geometric thinking
  • Connect mathematical concepts with each other, other areas, and personal interests
  • Use mistakes as opportunities to advance learning
  • Incorporate First Peoples worldviews, perspectives, knowledge, and practices to make connections with mathematical concepts
Curricular Competencies Elaborations: 
  • thinking strategies:
    • using reason to determine winning strategies
    • generalizing and extending
  • spatial reasoning:
    • being able to think about shapes (real or imagined) and mentally transform them to notice relationships
  • analyze:
    • examine the structure of and connections between geometric ideas (e.g., parallel and perpendicular lines, circle geometry, constructing tangents, transformations)
  • reason:
    • inductive and deductive reasoning
    • predictions, generalizations, conclusions drawn from experiences (e.g., with puzzles, games, and coding)
  • technology:
    • graphing technology, dynamic geometry, calculators, virtual manipulatives, concept-based apps
    • can be used for a wide variety of purposes, including:
      • exploring and demonstrating geometrical relationships
      • organizing and displaying data
      • generating and testing inductive conjectures
      • mathematical modelling
  • other tools:
    • paper and scissors, straightedge and compass, ruler, and other concrete materials
  • Estimate reasonably:
    • be able to defend the reasonableness of an estimated value or a solution to a problem or equation (e.g., congruencies, angles, lengths)
  • fluent, flexible, and strategic thinking:
    • being able to generate a family of shapes and apply characteristics across the family
  • Model:
    • use mathematical concepts and tools to solve problems and make decisions (e.g., in real-life and/or abstract scenarios)
    • take a complex, essentially non-mathematical scenario and figure out what mathematical concepts and tools are needed to make sense of it
  • situational contexts:
    • including real-life scenarios and open-ended challenges that connect mathematics with everyday life
  • Think creatively:
    • by being open to trying different strategies
    • refers to creative and innovative mathematical thinking rather than to representing math in a creative way, such as through art or music
  • curiosity and wonder:          
    • asking questions to further understanding or to open other avenues of investigation
  • inquiry:
    • includes structured, guided, and open inquiry
    • noticing and wondering
    • determining what is needed to make sense of and solve problems
  • Visualize:
    • create and use mental images to support understanding
    • Visualization can be supported using dynamic materials (e.g., graphical relationships and simulations), concrete materials, drawings, and diagrams.
  • flexible and strategic approaches:
    • deciding which mathematical tools to use to solve a problem
    • choosing an effective strategy to solve a problem (e.g., guess and check, model, solve a simpler problem, use a chart, use diagrams, role-play)
  • solve problems:
    • interpret a situation to identify a problem
    • apply mathematics to solve the problem
    • analyze and evaluate the solution in terms of the initial context
    • repeat this cycle until a solution makes sense
  • persistence and a positive disposition:
    • not giving up when facing a challenge
    • problem solving with vigour and determination
  • connected:
    • through daily activities, local and traditional practices, popular media and news events, cross-curricular integration
    • by posing and solving problems or asking questions about place, stories, and cultural practices
  • Explain, justify:
    • use mathematical arguments to convince
    • includes anticipating consequences
  • decisions:
    • Have students explore which of two scenarios they would choose and then defend their choice.
  • many ways:
    • including oral, written, visual, gestures and use of technology
    • communicating effectively according to what is being communicated and to whom
  • Represent:
    • concretely, diagrammatically, symbolically, including using models, tables, graphs, words, numbers, symbols
  • discussions:
    • partner talks, small-group discussions, teacher-student conferences
  • discourse:
    • is valuable for deepening understanding of concepts
    • can help clarify students’ thinking, even if they are not sure about an idea or have misconceptions
  • Reflect:
    • share the geometric thinking of self and others, including evaluating strategies and solutions, finding counter-examples, extending, posing new problems and questions, proving results
  • Connect mathematical concepts:
    • to develop a sense of how mathematics helps us understand ourselves and the world around us (e.g., daily activities, local and traditional practices, popular media and news events, social justice, cross-curricular integration)
  • mistakes:
    • range from calculation errors to misconceptions
  • opportunities to advance learning:
    • by:
      • analyzing errors to discover misunderstandings
      • making adjustments in further attempts
      • identifying not only mistakes but also parts of a solution that are correct
  • Incorporate:
    • by:
      • collaborating with Elders and knowledge keepers among local First Peoples
      • exploring the First Peoples Principles of Learning (; e.g., Learning is holistic, reflexive, reflective, experiential, and relational [focused on connectedness, on reciprocal relationships, and a sense of place]; Learning involves patience and time)
      • making explicit connections with learning mathematics
      • exploring cultural practices and knowledge of local First Peoples and identifying mathematical connections
  • knowledge:
    • local knowledge and cultural practices that are appropriate to share and that are non-appropriated
  • practices:
Concepts and Content: 
  • geometric constructions
  • parallel and perpendicular lines:
    • circles as tools in constructions
    • perpendicular bisector
  • circle geometry
  • constructing tangents
  • transformations of 2D shapes:
    • isometries
    • non-isometric transformations
  • non-Euclidean geometries
Concepts and Content Elaborations: 
  • constructions:
    • angles, triangles, triangle centres, quadrilaterals
  • parallel and perpendicular:
    • angle bisector
  • circles as tools:
    • constructing equal segments, midpoints
  • circle geometry:
    • properties of chords, angles, and tangents to mobilize the proving process
  • constructing tangents:
    • lines tangent to circles, circles tangent to circles, circles tangent to three objects (e.g., points [PPP], three lines [LLL])
  • isometries:
    • transformations that maintain congruence (translations, rotations, reflections)
    • composition of isometries
    • tessellations
  • non-isometric transformations:
    • dilations and shear
    • topology
  • non-Euclidean geometries:
    • perspective, spherical, Taxicab, hyperbolic
    • tessellations
Update and Regenerate Nodes
Big Ideas FR: 
L’emploi de figures géométriques est essentiel pour l’investigation, la communication et la découverte des propriétés et des relations géométriques.
La recherche de l’invariance dans les transformations est le fondement de l’investigation en géométrie.
La géométrie s’intéresse à la formulation, à la mise à l’épreuve et au perfectionnement de définitions.
La démonstration commence par la formulation de conjectures, la recherche de contre-exemples et l’amélioration de la conjecture, et peut se terminer par une preuve écrite.
Les histoires et les applications de la géométrie varient d’une culture et d’une époque à l’autre. 
Big Ideas Elaborations FR: 
  • figures géométriques :
    • Questions pour appuyer la réflexion de l’élève :
      • Comment décrire un objet géométrique à quelqu’un qui ne pourrait pas le voir?
      • De quelles propriétés peut-on conclure à partir d’une figure géométrique?
      • De quels comportements peut-on conclure à partir d’une figure géométrique?
  • invariance dans les transformations :
    • L’invariance dans les transformations est plus facile à expérimenter avec les technologies actuelles et les figures géométriques dynamiques. Par exemple, la somme des angles d’un triangle planaire est invariable, quelle que soit la forme du triangle.
    • Questions pour appuyer la réflexion de l’élève :
    • Comment construit-on des figures géométriques qui conservent leurs propriétés dans une transformation?
    • Quelles propriétés changent, et lesquelles ne changent pas, lorsqu’il s’agit detransformer un carré, un parallélogramme, un triangle, etc.?
    • Comment pourrait-on reformuler le théorème de Pythagore en termes de variance et d’invariance?
  • définitions :
    • les définitions sont rarement le point de départ en géométrie
    • Questions pour appuyer la réflexion de l’élève :
      • Comment les transformations aident-elles à perfectionner les définitions des figures géométriques?
      • Comment définir un carré (ou un cercle) de plusieurs façons différentes? Parmi plusieurs définitions, comment déterminer laquelle est la plus pratique?
      • Comment construire une figure géométrique à partir de sa définition?
      • Comment modifier la définition d’une figure géométrique pour définir une nouvelle figure géométrique?
  • démonstration :
    • Questions pour appuyer la réflexion de l’élève :
      • Peut-on formuler une conjecture sur les diagonales d’un polygone? Peut-on trouver un contre-exemple à sa conjecture?
      • Comment une conjecture sur une figure géométrique unique peut-elle amener à faire une conjecture plus générale sur une famille de figures géométriques?
      • Comment avoir la certitude qu’une preuve est concluante?
      • Peut-on trouver un contre-exemple à une conjecture?
      • Comment différentes preuves sollicitent-elles différentes compréhensions d’une relation?
  • géométrie :
    • La géométrie est plus qu’une simple liste d’axiomes et de déductions. La géométrie non classique et la géométrie moderne s’intéressent aux figures géométriques et à l’espace, et ne sont pas uniquement axiomatiques. Leur but n’est pas toujours la production de théorèmes. Elles s’intéressent plutôt à la modélisation de phénomènes mathématiques et non mathématiques, au moyen d’objets et de relations géométriques. De nos jours, la géométrie est utilisée dans une multitude de disciplines, notamment l’animation, l’architecture, la biologie, la charpenterie, la chimie, l’imagerie médicale et les arts.
    • Questions pour appuyer la réflexion de l’élève :
      • Peut-on trouver des relations géométriques dans les arts ou la culture des peuples autochtones?
      • Peut-on faire des liens entre la géométrie et les récits, le langage ou des expériences du passé?
      • Que remarque-t-on dans les figures géométriques que l’on observe couramment dans les arts des peuples autochtones, et comment en construire?
      • Comment la notion de « preuve » change-t-elle d’une époque et d’une culture à l’autre?
      • Comment les concepts géométriques sont-ils appliqués dans les professions d’aujourd’hui?
Raisonner et modéliser
  • Élaborer des stratégies de réflexion pour résoudre des casse-têtes et jouer à des jeux
  • Appliquer son raisonnement géométrique dans un environnement dynamique
  • Explorer, analyser et appliquer des idées mathématiques au moyen du raisonnement, de la technologie et d’autres outils
  • Réaliser des estimations raisonnables et faire preuve d’une réflexion aisée, souple et stratégique en ce qui a trait aux concepts liés aux nombres
  • Modéliser au moyen des mathématiques dans des situations contextualisées
  • Faire preuve de pensée créatrice et manifester de la curiosité et de l’intérêt dans l’exploration de problèmes
Comprendre et résoudre
  • Développer, démontrer et appliquer sa compréhension des concepts mathématiques par des jeux, des histoires, l’investigation et la résolution de problèmes
  • Explorer et représenter des concepts et des relations géométriques par la visualisation
  • Appliquer des approches flexibles et stratégiques pour résoudre des problèmes
  • Résoudre des problèmes avec persévérance et bonne volonté
  • Réaliser des expériences de résolution de problèmes qui font référence aux lieux, aux histoires, aux pratiques culturelles et aux perspectives des peuples autochtones de la région, de la communauté locale et d’autres cultures
Communiquer et représenter
  • Expliquer, justifier et évaluer des concepts et des décisions géométriques de plusieurs façons
  • Représenter des concepts mathématiques sous formes concrète, graphique et symbolique
  • Utiliser le vocabulaire et le langage de la géométrie pour participer à des discussions en classe
  • Prendre des risques en proposant des idées dans le discours en classe
Faire des liens et réfléchir
  • Réfléchir sur l’approche géométrique
  • Faire des liens entre différents concepts mathématiques, et entre les concepts mathématiques et d’autres domaines et intérêts personnels
  • Voir les erreurs comme des occasions d’apprentissage
  • Incorporer les visions du monde, les perspectives, les connaissances et les pratiques des peuples autochtones pour établir des liens avec des concepts mathématiques
Curricular Competencies Elaborations FR: 
  • stratégies de réflexion :
    • raisonner pour choisir des stratégies gagnantes
    • généraliser et extrapoler
  • raisonnement géométrique :
    • habileté à réfléchir sur des figures géométriques (réelles ou imaginaires) et à les transformer mentalement pour relever des relations
  • analyser :
    • examiner la structure des concepts géométriques et les liens entre eux (p. ex. droites parallèles et perpendiculaires, géométrie du cercle, construction de tangentes, transformations)
  • raisonnement :
    • raisonnement inductif et déductif
    • prédictions, généralisations et conclusions tirées d’expériences (p. ex. casse-têtes, jeux et programmation)
  • technologie :
    • technologie graphique, géométrie dynamique, calculatrices, matériel de manipulation virtuelle, applications conceptuelles
    • usages très variés, notamment :
      • exploration et démonstration de relations géométriques
      • organisation et présentation de données
      • formulation et mise à l’épreuve de conjectures inductives
      • modélisation mathématique
  • autres outils :
    • papier et ciseaux, règle droite et compas, règle et autres objets
  • Réaliser des estimations raisonnables :
    • être capable de défendre la vraisemblance d’une valeur estimée ou de la solution d’un problème ou d’une équation (p. ex. congruences, angles, longueurs)
  • réflexion aisée, souple et stratégique :
    • pouvoir construire une famille de figures géométriques et appliquer ses propriétés d’une figure à l’autre à l’intérieur de cette famille
  • Modéliser :
    • à l’aide de concepts et d’outils mathématiques, résoudre des problèmes et prendre des décisions (p. ex. dans des scénarios de la vie quotidienne ou abstraits)
    • choisir les concepts et les outils mathématiques nécessaires pour déchiffrer un scénario complexe et essentiellement non mathématique
  • situations contextualisées :
    • par exemple, des scénarios de la vie quotidienne et des défis ouverts qui établissent des liens entre les mathématiques et la vie quotidienne
  • pensée créatrice :
    • être ouvert à l’essai de stratégies différentes
    • on fait référence ici à une réflexion mathématique créatrice et innovatrice plutôt qu’à une représentation créative des mathématiques, p. ex. par les arts ou la musique
  • curiosité et de l’intérêt :
    • poser des questions pour approfondir sa compréhension ou pour ouvrir de nouvelles voies d’investigation
  • investigation :
    • investigation structurée, orientée et libre
    • observer et s’interroger
    • relever les éléments nécessaires pour comprendre un problème et le résoudre
  • visualisation :
    • créer et utiliser des images mentales pour appuyer sa compréhension
    • la visualisation peut être appuyée par du matériel dynamique (p. ex. des relations et des simulations graphiques), des objets, des dessins et des diagrammes
  • approches flexibles et stratégiques :
    • choisir les outils mathématiques appropriés pour résoudre un problème
    • choisir une stratégie efficace pour résoudre un problème (p. ex. essai-erreur, modélisation, résolution d’un problème plus simple, utilisation d’un graphique ou d’un diagramme, jeu de rôle)
  • résoudre des problèmes :
    • interpréter une situation pour cerner un problème
    • appliquer les mathématiques à la résolution de problème
    • analyser et évaluer la solution par rapport au contexte initial
    • répéter ce cycle jusqu’à ce qu’une solution vraisemblable ait été trouvée
  • persévérance et bonne volonté :
    • ne pas abandonner devant les difficultés
    • résoudre les problèmes avec dynamisme et détermination
  • qui font référence :
    • aux activités quotidiennes, aux pratiques locales et traditionnelles, aux médias populaires, aux événements d’actualité et à l’intégration interdisciplinaire
    • en posant et en résolvant des problèmes, ou en posant des questions sur les lieux, les histoires et les pratiques culturelles
  • Expliquer et justifier :
    • utiliser des arguments mathématiques pour convaincre
    • prévoir des conséquences
  • décisions :
    • demander aux élèves de choisir parmi deux scénarios, puis de justifier leur choix
  • plusieurs façons :
    • par exemple : orale, écrite, visuelle, gestuelle, au moyen de technologies
    • communiquer efficacement d’une manière adaptée à la nature du message et de l’auditoire
  • Représenter :
    • de manière concrète, graphique ou symbolique, notamment à l’aide de modèles, de tables, de graphiques, de mots, de nombres, de symboles
  • discussions :
    • dialogues entre pairs, discussions en petits groupes, rencontres enseignants-élèves
  • discours :
    • utile pour approfondir la compréhension des concepts
    • peut aider les élèves à clarifier leur réflexion, même s’ils doutent quelque peu de leurs idées ou si leurs prémisses sont erronées
  • Réfléchir :
    • présenter le résultat de son raisonnement géométrique et partager celui d’autres personnes, y compris évaluer les stratégies et les solutions, trouver des contre-exemples, développer les idées, formuler de nouveaux problèmes et de nouvelles questions, prouver les résultats
  • Faire des liens entre différents concepts mathématiques :
    • s’ouvrir au fait que les mathématiques peuvent aider à se connaître et à comprendre le monde autour de soi (p. ex. activités quotidiennes, pratiques locales et traditionnelles, médias populaires, événements d’actualité, justice sociale et intégration interdisciplinaire)
  • erreurs :
    • vont des erreurs de calcul jusqu’aux fausses prémisses
  • occasions d’apprentissage :
    • en :
      • analysant ses erreurs pour cerner les éléments mal compris
      • apportant des correctifs à la tentative suivante
      • relevant non seulement les erreurs mais aussi les parties d’une solution qui sont correctes
  • Incorporer :
    • en :
      • collaborant avec les Aînés et les détenteurs du savoir parmi les peuples autochtones
      • explorant les principes d’apprentissage des peuples autochtones ( : l’apprentissage est holistique, introspectif, réflexif, expérientiel et relationnel [axé sur la connexité, les relations réciproques et l’appartenance]; l’apprentissage demande temps et patience)
      • faisant des liens explicites avec l’apprentissage des mathématiques
      • explorant les pratiques culturelles et les connaissances des peuples autochtones de la région, et en faisant des liens avec les mathématiques
  • connaissances :
    • connaissances locales et pratiques culturelles qu’il est convenable de partager et qui ne relèvent pas d’une appropriation
  • pratiques :
  • Constructions géométriques
  • Droites parallèles et perpendiculaires :
    • utilisation du cercle dans les constructions
    • bissectrice perpendiculaire
  • Géométrie du cercle
  • Construction de tangentes
  • Transformations de figures géométriques :
    • isométries
    • transformations non isométriques
  • Géométries non euclidiennes
content elaborations fr: 
  • Constructions :
    • angles, triangles, centres d’un triangle, quadrilatères
  • parallèles et perpendiculaires :
    • bissectrice d’un angle
  • utilisation du cercle :
    • construire des segments égaux, trouver le point milieu
  • Géométrie du cercle :
    • utiliser les propriétés des segments, des angles et des tangentes pour faire une démonstration
  • Construction de tangentes :
    • droites tangentes à un cercle, cercles tangents, cercles tangents à trois figures (p. ex. à trois points [PPP], à trois droites [DDD])
  • isométries :
    • transformations qui conservent la congruence (translation, rotation et réflexion)
    • composition des isométries
    • dallage
  • transformations non isométriques :
    • dilatation et transvection
    • topologie
  • Géométries non euclidiennes :
    • perspective; géométrie sphérique, rectilinéaire, hyperbolique
    • dallage
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